Question

Докажите, что диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.

Answer 1

Чтобы доказать это свойство, рассмотрим четырехугольник A1D1CB, диагонали которого А1С и D1B являются диагоналями параллелепипеда ABCDAlB1C1D1 (см. рис. 37, а). Так как А1D1||ВС и A1D1=BC, то A1D1CB — параллелограмм. Поэтому диагонали A1C и D1B пересекаются в некоторой точке O и этой точкой делятся пополам.

+Далее рассмотрим четырехугольник AD1C1B (рис. 37, б). Он также является параллелограммом , и, следовательно, его диагонали АС1 и D1B пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Но серединой диагонали D1B является точка О.Таким образом, диагонали A1C, D1B и АС1 пересекаются в точке О и делятся этой точкой пополам. Наконец, рассматривая четырехугольник A1B1CD (рис. 37, в), точно так же устанавливаем, что и четвертая диагональ DB1 параллелепипеда проходит через точку О и делится ею пополам.