Question

Через точку M, лежащую вне окружности, проведены две секущие, пересекающие окружность в точках A, B и C, D. Докажите, что MA * MB = MC * MD.

Answer 1

Для доказательства данного утверждения воспользуемся свойством секущих, проходящих через окружность.

По свойству секущих, проходящих через окружность, мы знаем, что произведение отрезков, образованных каждой из секущих и пересекающей хордой, равно. То есть, AD * BD = CD * BD.

Теперь рассмотрим треугольники MAB и MCD. В этих треугольниках у нас имеются две пары подобных углов: ∠MAB и ∠MCD (как вертикальные углы) и ∠MAC и ∠MDB (как вертикальные углы).

Из подобия треугольников следует, что соответствующие отношения сторон равны. То есть, MA/MD = BA/DC и MB/MC = AB/CD.

Так как BA = AD и AB = BC, мы можем переписать эти отношения как:

MA/MD = AD/DC
MB/MC = AD/DC

Теперь мы знаем, что AD * BD = CD * BD и AD/DC = MA/MD = MB/MC.

Подставим AD/DC = MA/MD и AD/DC = MB/MC в уравнение AD * BD = CD * BD:

(MA/MD) * BD = (MB/MC) * BD

Так как BD не равно нулю (поскольку точка M лежит вне окружности), мы можем сократить его с обеих сторон:

MA * MD = MB * MC

Таким образом, мы доказали, что MA * MB = MC * MD.