Question

Пусть    стороны    треугольника   ABC    таковы,    что АВ >ВС >АС. Докажите, что если M — произвольная внутренняя точка этого треугольника, то MA + MB + MC > АВ + BC.

Answer 1

Для доказательства MA + MB + MC > AB + BC воспользуемся неравенством треугольника.

По неравенству треугольника для любого треугольника сумма длин двух сторон всегда больше длины третьей стороны.

Применим это к треугольнику AMB:
MA + MB > AB     (1)

К треугольнику BMC:
MB + MC > BC     (2)

И к треугольнику CMA:
MC + MA > AC     (3)

Сложим все три неравенства (1), (2) и (3):

MA + MB + MB + MC + MC + MA > AB + BC + AC

2(MA + MB + MC) > AB + BC + AC

MA + MB + MC > (AB + BC + AC) / 2

Так как AB > BC > AC, то AB + BC > AC

Следовательно, (AB + BC + AC) / 2 > AB + BC

Итак, мы доказали, что MA + MB + MC > AB + BC.