Question

Дан квадрат ABCD. Найдите геометрическое место таких точек М плоскости квадрата, для которых AM + СМ = DM+ ВМ.

Answer 1

Для начала обозначим длины отрезков AM, BM, CM и DM как x, y, z и w соответственно.

Учитывая условие задачи AM + CM = DM + BM, мы можем записать:

x + z = w + y.

Так как дан квадрат ABCD, то стороны квадрата равны между собой. Пусть сторона квадрата равна a, тогда AC = BD = a.

Следовательно, по теореме Пифагора в прямоугольных треугольниках AMС и BMD:

x^2 + z^2 = a^2,  
w^2 + y^2 = a^2.

Из уравнения x + z = w + y мы можем выразить одну переменную через другие:

x = w + y - z.

Подставим это выражение в уравнение x^2 + z^2 = a^2:

(w + y - z)^2 + z^2 = a^2,  
w^2 + 2wy - 2wz + y^2 - 2yz + z^2 + z^2 = a^2,  
w^2 + y^2 + z^2 - 2wz - 2yz + 2wy = a^2.

Также подставим выражение x = w + y - z в уравнение w^2 + y^2 = a^2:

(w + y - z) + z^2 = a^2,  
w^2 + y^2 - 2wz + 2wy = a^2.

Теперь у нас есть два уравнения, определяющих геометрическое место точек M плоскости квадрата ABCD, для которых AM + CM = DM + BM.