Question

В прямоугольном треугольнике ABC катеты АС и ВС равны соответственно 1 и 3. Найдите геометрическое место точек М плоскости, для которых AM^2 + ВМ^2 = 2СМ^2.

Answer 1

Для начала, обозначим длины отрезков AM, BM и CM как x, y и z соответственно.

Учитывая условие задачи AM^2 + BM^2 = 2CM^2, мы можем записать:

x^2 + y^2 = 2z^2.

Также известно, что в прямоугольном треугольнике АВС катеты AC и BC равны 1 и 3, что означает, что z = AC = 1.

Подставим z = 1 в уравнение x^2 + y^2 = 2z^2:

x^2 + y^2 = 2.

Это уравнение задает окружность с центром в начале координат и радиусом √(2).

Итак, геометрическое место точек M плоскости, для которых AM^2 + BM^2 = 2CM^2, представляет собой окружность с центром в начале координат и радиусом √(2).