Question

На плоскости даны две точки А и В, причём А В = 2. Найдите геометрическое место таких точек М плоскости, для которых AM^2 + ВМ^2 = 3.

Answer 1

Пусть координаты точек A и B на плоскости равны (x₁, y₁) и (x₂, y₂) соответственно. Тогда расстояние между точками A и B, AB, выражается как:

AB = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²).

Учитывая, что AB = 2, можем записать:

√((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²) = 2.

Теперь рассмотрим точку M с координатами (x, y). Расстояния AM и BM выражаются как:

AM = √((x - x₁)² + (y - y₁)²),  
BM = √((x - x₂)² + (y - y₂)²).

Условие AM^2 + BM^2 = 3 можно записать как:

(x - x₁)² + (y - y₁)² + (x - x₂)² + (y - y₂)² = 3.

Разложим это уравнение:

2x² - 2xx₁ - 2xx₂ + x₁² + x₂² + 2y² - 2yy₁ - 2yy₂ + y₁² + y₂² = 3.

Теперь рассмотрим геометрическое место точек M, для которых AM^2 + BM^2 = 3. Это будет кривая на плоскости, удовлетворяющая уравнению, которое мы получили выше.