Question

Дан треугольник ABC. Найдите геометрическое место таких точек М плоскости, для которых
АВ • СМ + ВС • AM + СА • ВМ = 0.

Answer 1

Рассмотрим данное уравнение более подробно. Оно представляет собой линейную комбинацию трех векторных произведений:

AB·CM + BC·AM + CA·BM = 0.

Заменим эти векторные произведения на площади треугольников, которые они задают:

S(ABM) + S(BCM) + S(CAM) = 0.

Таким образом, мы получаем, что точка М удовлетворяет данному уравнению тогда и только тогда, когда сумма площадей треугольников ABM, BCM и CAM равна нулю.

Это условие означает, что точка М лежит на одной из медиан треугольника ABC. Действительно, медиана проводится из вершины треугольника к середине противолежащей стороны, и ее длина равна половине длины этой стороны. Таким образом, если точка М лежит на медиане, то отрезки AB, BC и CA будут соответственно равны векторным произведениям AM·BC, BM·CA и CM·AB. Следовательно, их линейная комбинация будет равна нулю, и точка М удовлетворит данному уравнению.

Итак, геометрическое место точек М, для которых выполнено уравнение AB·CM + BC·AM + CA·BM = 0, является медиана треугольника ABC.