Question

Вершины А, В, C и D параллелограмма ABCD соединены прямыми соответственно с серединами сторон ВС, CD, DA и АВ. Найдите площадь параллелограмма, ограниченного этими прямыми, если площадь параллелограмма ABCD равна 1.

Answer 1

Для решения данной задачи рассмотрим параллелограмм ABCD. По условию, вершины параллелограмма А, В, C, D соединены прямыми с серединами сторон ВС, CD, DA и АB соответственно.

Пусть точки M, N, P, Q - середины сторон BC, CD, DA и AB соответственно.

По свойству параллелограмма, диагонали параллелограмма делят его на 4 равные фигуры. Таким образом, S(ABCD) = 4 * S(MNPQ).

Далее, по условию, рассмотрим параллелограмм, ограниченный прямыми, соединяющими вершины А, В, C, D с серединами сторон ВС, CD, DA и АB.

Согласно данному условию, этот новый параллелограмм также делится диагоналями на 4 равные фигуры. Таким образом, его площадь равна S(MNPQ).

Из этого следует, что S(ABCD) = 4 * S(MNPQ) = S(MNPQ), так как S(ABCD) = 1.

Следовательно, S(MNPQ) = 1/4. Но так как S(MNPQ) равно площади параллелограмма, ограниченного прямыми, соединяющими вершины А, В, C, D с серединами сторон ВС, CD, DA и АB, то S = 1/4 = 1/5 * 1.

Ответ: 1/5.