Question

Пусть М — некоторая точка, расположенная на окружности, описанной около равностороннего треугольника ABC. Докажите, что из трёх отрезков MA, MB, МС один равен сумме двух других.

Answer 1

Для доказательства данного утверждения воспользуемся свойствами описанной окружности равностороннего треугольника.

Равносторонний треугольник ABC описан около окружности, то есть все три стороны AD, BD и CD являются радиусами этой окружности, где D - центр окружности.

Рассмотрим произвольную точку M на окружности, описанной около треугольника ABC. Проведем отрезки MD, ME и MF, где точки E и F - середины сторон AB и AC соответственно.

Так как AD, BD и CD - радиусы окружности, то они равны между собой, то есть AD = BD = CD.

Также, так как E и F - середины сторон AB и AC, то EM = MF = FD.

Из этих равенств следует, что MA + MB = MD + ME и MA + MC = MD + MF.

Таким образом, получаем, что MA + MB = MD + ME = MA + MC = MD + MF.

Отсюда следует, что один из отрезков MA, MB, MC равен сумме двух других.

Таким образом, доказано, что из трех отрезков MA, MB, MC один равен сумме двух других для любой точки M на окружности, описанной около равностороннего треугольника ABC.