Для решения этой задачи мы можем воспользоваться свойствами описанных окружностей в треугольниках.
Поскольку угол CAB равен 60 градусов, то угол ADB = 45 градусов, то есть треугольник ADB является прямоугольным с гипотенузой AD.
Мы знаем, что в прямоугольном треугольнике отношение радиуса описанной окружности к гипотенузе равно половине гипотенузы. То есть, если R - радиус описанной окружности вокруг треугольника ADB и r - радиус описанной окружности вокруг треугольника ABC, то:
R/AD = r/2
Также из теоремы синусов для треугольника CAB мы можем найти длину стороны AB:
AB = 2r/sin60 = 2r/(√3/2) = 4r/√3
Теперь, используя теорему Пифагора для треугольника ADB, получаем:
AD^2 = AB^2 + BD^2 = (4r/√3)^2 + (2r/√3)^2 = (16r^2 + 4r^2)/3 = 20r^2/3
Так как AD = 2R, то (2R)^2 = 20r^2/3, откуда мы можем найти радиус R:
4R^2 = 20r^2/3
3R^2 = 5r^2
R^2 = 5/3*r^2
R = √(5/3) * r
Итак, радиус окружности, описанной около треугольника ADB, равен √(5/3) приблизительно 1.29 раз радиусу описанной окружности треугольника ABC.