Для доказательства того, что отрезок MR является средней линией трапеции ABCD, нужно показать, что MR равен половине суммы оснований трапеции.
По условию, точка M - середина отрезка AB, а точка N - середина отрезка BD.
Сначала рассмотрим треугольники AMR и CDN.
По свойству серединного перпендикуляра в треугольнике AMB: MR параллелен CD и равен половине CD, то есть MR = 1/2 * CD.
Также, по свойству серединного перпендикуляра в треугольнике NBD: MN параллелен BD и равен половине BD, то есть MN = 1/2 * BD.
Теперь рассмотрим параллелограмм ABCD.
Из условия того, что M - середина AB, следует, что AM = MB.
Аналогично, из условия того, что N - середина BD, следует, что DN = NB.
Теперь рассмотрим треугольник AMB. В нем мы видим, что MR параллелен CD и равен половине CD.
Теперь рассмотрим треугольники CDN и NBM.
Из равенства DN = NB и того, что N - середина BD, следует, что MN параллелен CD и равен половине CD.
Таким образом, отрезок MR пересекает CD в точке P и является средней линией трапеции ABCD, так как MR = 1/2 * (CD + AB).
Следовательно, MR является средней линией трапеции ABCD.