Question

В треугольнике ABC известны стороны: АВ=5, ВС = 7, СА = 9. На стороне СА взята точка М так, что СМ: МА = 5:7. Какой из треугольников, СМВ или АМВ, имеет больший периметр и на сколько?

Answer 1

Для начала определим длины сторон треугольников СМВ и АМВ.

Пусть x будет длиной отрезка CM, тогда длина отрезка MA будет 9 - x.

Теперь вычислим длины сторон треугольника СМВ:
SM = 5x / (5 + 7) = 5x / 12,
MV = 7x / (5 + 7) = 7x / 12,
SV = SM + MV = 5x / 12 + 7x / 12 = 12x / 12 = x.

Теперь вычислим длины сторон треугольника АМВ:
AM = 9 - x,
MV = 7x / (5 + 7) = 7x / 12,
AV = AM + MV = 9 - x + 7x / 12.

Теперь можем найти периметры обоих треугольников:
Периметр СМВ = SM + MV + SV = 5x / 12 + 7x / 12 + x = 13x / 6,
Периметр АМВ = AM + MV + AV = 9 - x + 7x / 12 + 9 - x = 18 + 7x / 12 - 2x.

Теперь можем сравнить периметры треугольников:
Если 13x / 6 > 18 + 7x / 12 - 2x, то треугольник СМВ имеет больший периметр.
Упрощаем неравенство: 26x > 108 + 7x - 24x,
2x > 108,
x > 54.

Таким образом, если x > 54, то треугольник СМВ имеет больший периметр.