Question

На боковых сторонах АВ и ВС равнобедренного треугольника ABC отложены равные отрезки AD и BE. Докажите, что середина отрезка DE принадлежит средней линии треугольника ABC, параллельной его основанию.

Answer 1

Для доказательства этого факта мы можем воспользоваться свойством параллелограмма.

Поскольку треугольник ABC является равнобедренным, то высота, опущенная из вершины C на основание AB, также является медианой и биссектрисой этого треугольника. Обозначим точку пересечения медианы с основанием треугольника как М.

Теперь рассмотрим параллелограмм ADEB. По условию, отрезки AD и BE равны, а значит, стороны параллелограмма ADEB также равны. Также известно, что диагонали параллелограмма делятся пополам. Поскольку середина отрезка DE является точкой пересечения диагоналей параллелограмма ADEB, она также будет являться точкой пересечения медиан треугольника ABC.

Таким образом, середина отрезка DE совпадает с точкой пересечения медиан треугольника ABC, то есть с точкой M.

Следовательно, середина отрезка DE принадлежит средней линии треугольника ABC, параллельной его основанию.