Question

Высоты остроугольного треугольника ABC, проведённые из точек B и C, продолжили до пересечения с описанной окружностью в точках B1 и C1. Оказалось, что отрезок B1C1 проходит через центр описанной окружности. Найдите угол BAC

Answer 1

∠BAC является вписанным углом и опирается на малую дугу CB.
Проведем отрезок CB1, ∠CB1B тоже является вписанным и опирается на ту же дугу, следовательно, ∠BAC=∠CB1B.
B1C1 является диаметром окружности, так как проходит через ее центр. Следовательно, B1C1 делит окружность на две дуги по 180°
∠B1CC1 тоже вписанный и опирается на дугу в 180°, по теореме о вписанном угле ∠B1CC1=180°/2=90°.
Обозначим еще три точки, как показано на рисунке ниже:
Точки E и F - точки пересечения высот и сторон треугольника ABC, G - точка пересечения высот.
Рассмотрим треугольники B1CG и BFG.
∠CGB1=∠BGF (так как они вертикальные).
∠B1CG=∠BFG (так как они оба прямые).
Следовательно, по теореме о сумме углов треугольника, ∠СB1G=∠GBF
Следовательно, ∠GBF так же равен и ∠BAC
Рассмотрим треугольник AEB.
∠AEB=90° (так как BE - высота).
∠BAC=∠GBF
Тогда, используя теорему о сумме углов треугольника получаем, что каждый из углов BAC и GBF равен по 45°.
Ответ: ∠BAC=45°