Question

Первый орден "Мать-героиня" был вручен жительнице Пушкинского района московской области Анне Савельевне Алексахиной в 1944 году.
Десять сыновей и двое дочерей было в семье Алексахиной (по старшинству: Сергей, Алексей, Александр, Иван, Георгий, Валентин, Михаил, Николай, Владимир, Андрей, Виктория и Светлана), причем все они родились через одинаковые промежутки времени. В тот год, когда Светлане было 10 лет, сумма квадратов возрастов детей равнялась сумме квадратов возрастов родителей. Треть суммы возрастов родителей равна седьмой части суммы возрастов детей (считаем только целое число лет). Сколько было тогда каждому из детей и родителям, если известно, что муж Анны Савельевны – Максим Сергеевич старше еѐ?

Answer 1

Решение. Пусть дети рождались через t лет, тогда сумма квадратов детей S1 = 10 + (10 + t) + … + (10 + 11t); S1 = 120 + 0,5 · (t + 11t) · 11; S1 = 6 · (20 + 11). Пусть сумма возрастов родителей S2 = х + у. По условию S2 : 3 = 6 · (20 + 11t) : 7; 20 + 11t кратно 7 при t = 2. Другие значения t > 2 нереальны. Определился возраст каждого из детей: 10, 12, …, 32; S1 = 252, S2 = 252 : 7 · 3 = 108. Сумма квадратов возрастов детей равна 5864. Принимая возраст Анны Савельевны за х, находим возраст родителей: х2 + (108 – х)2 и по условию х2 + (108 – х)2 = 5864 или х2 – 108х + 2900 = 0, откуда х1 = 58, х2 = 50. Значит, Анне было 50, Максиму – 58 лет. Ответ: Возраст детей: 10, 12, …, 32; Анне Савельевне 50 лет, Максиму Сергеевичу 58 лет.