Question

В коммунальной квартире 10 комнат. Жители этих комнат просыпаются по очереди. Если дверь их комнаты на месте, они снимают дверь какой-либо другой комнаты и относят ее в подвал. Если же дверь их комнаты отсутствует, они забирают из подвала любую дверь и ставят ее на место своей (если ни одно из этих действий невозможно, они не делают ничего).
Какое наибольшее количество дверей может оказаться в подвале после того, как все жители комнат проснутся?

Answer 1

Ответ
Представим, что жильцы коммунальной квартиры просыпаются в порядке нумерации их комнат: сначала – первой, потом – второй и т. д.
Рассмотрим комнату, с которой сняли дверь жители первой комнаты. Когда жильцы комнаты со снятой дверью проснутся, они повесят свою дверь на место. В результате этих двух операций ни одной двери в подвале не прибавится и, если даже жильцы остальных восьми комнат снимут по двери, в подвале окажется не более 8 дверей.
Например: жители первой комнаты снимают дверь с десятой комнаты, жители второй комнаты снимают дверь с первой, жители n-й комнаты снимают дверь с n – 1 (1 < n < 10) комнаты.
Проснувшиеся последними жители десятой комнаты вешают свою дверь на место, после чего в подвале окажется 8 дверей от первой, второй, третьей, четвертой, пятой, шестой, седьмой и восьмой комнат.