Question

Докажите, что биссектриса треугольника не меньше высоты и не больше медианы, проведенных из этой же вершины

Answer 1

Пусть в ΔABC, AK — высота, AN — биссектриса ∠A, AE — медиана. Из точки A к прямой BC проведены перпендикуляр AK (высота) и две наклонные. Cледовательно точка N принадлежит либо KB, либо KE. Точка N совпадает с K, тогда AN = AK < AE. Точка N совпадает с E, тогда AN = AE > AK.  Точка N лежит между точками K и E, тогда AK < AN < AE (так как ее проекция NK меньше EK — проекции AE). По доказанному в задаче № 24, AN не может быть больше AE, т.е. точка N не может лежать между E и С Что и требовалось доказать.