Question

Доведи, що два натуральных числа a i b мають таку властивість: або а, або b, або а + b, або а - b ділиться на 3

Answer 1

Відповідь:

Якщо а або b діляться на 3, то 3адача розв'язана. Припустимо, що нi a, нi b - не дiлятьcя на 3 без остачі. Тоді кожне з них при діленні на 3 дає остачу 1 або 2.
Розглянемо чотири випадки.
1) а дає остачу 1 при діленні на 3, тоді його можна записати у вигляді 3n + 1,
де n - натуральне число або нуль; b дає остачу 1 при діленні на 3, тоді b = 3m + 1, де m - натуральне число або нуль.
Маємо а - b = (3n + 1)- (3n + 1) = (3m + 1 - 1) - 3m = 3n - 3m = 3(n - m) - число, кратне 3.
2) а = 3n + 1 - дає остачу 1 при діленні на 3; b = 3m + 2 - дає остачу 2 при діленні на 3.
Тоді а + b = 3n + 3m + 3 = 3(n + m + 1) - число, кратне 3.
3) а = 3n + 2 - дає остачу 2 при діленні на 3; b = 3m + 1 - даєе остачу 1 при діленні на 3.
Тоді а + b = 3n + 3m + 3 = 3(n + m + 1) - число, кратне 3.
4) а = 3n + 2 - дає остачу 2 при діленні на 3; b = 3m + 2 - дає остачу 2 при діленні на 3.
Toдi а - b = (3n + 2) - (3m + 2) = (3n + 2 - 2) - 3m = 3n - 3m = 3(n - m) - число, кратне 3.
3адачу повністю доведено.