Question

У рівнобедреному трикутнику ABC відомо, що АВ = ВС, точка О - центр вписаного кола, точки D i E - точки дотику вписаного кола до стороні AC i AB відповідно, ∟ABC = 48°. Знайдіть кут DOE

Answer 1

Дано: ∆АВС - рівнобедрений. АВ = ВС. О - центр вписаного кола.
D є АС, Е є АВ. D i E - точки дотику. ∟ABC = 48°.
Знайти: ∟DOE.
Розв'язання:
Розглянемо ∆АВС - рівнобедрений.
За властивістю кутів рівнобедреного трикутника маємо: ∟ВАС = ∟BCA.
За теоремою про суму кутів трикутника маємо:
∟ABC + ∟ACB + ∟BCA = 180°.
∟BAC = ∟BCA = (180° - 48°) : 2 = 132° : 2 = 66°.
Якщо О - центр вписаного кола, тодф АО - бісектриса ∟BAC, тобто
∟EAO = ∟DAO = 1/2∟EAD = 66° : 2 = 33°.
Якщо D i E точки дотику. За властивістю дотичних маємо: OD ┴ АС,
ОЕ ┴ АВ; ∟ADO = ∟AEO = 90°.
Розглянемо ∆АЕО i ∆ADO - прямокутні.
OD = ОЕ - радіуси вписаного кола; АО - спільна сторона, ∟EAO = ∟DAO.
За ознакою piвностi прямокутних трикутників маємо: ∆ЕАО = ∆DAO.
Звідси маемо: ∟EOA = ∟DOA.
За властивістю гострих кутів прямокутного трикутника маємо:
∟EOA = 90° - 33° = 57°, ∟AOD = 57°.
За аксіомою вимірювання кутів маємо:
∟EOD = ∟EOA + ∟AOD; ∟EOD = 57° + 57° = 114°.
Biдповідь: 114°.