Question

На стороні ВС трикутника ABC позначили точки М i К (точка М лежить між точками В i К) так, що ∟KAC = ∟B, ∟ВАМ = ∟C. Доведіть, що трикутник МАК piвнобедрений

Answer 1

Нехай даний ∆АВС, точки М i К лежать на ВС,
т. М між т. В i т. К, ∟KAC = ∟B, ∟BAM = ∟C.
Доведемо, що ∆АМК - рівнобедрений.
Розглянемо ∆АВМ: ∟AMB = 180° - (∟BAM + ∟B).
Розглянемо ∆АКС: ∟AKC = 180° - (∟KAC + ∟C).
Оскільки ∟BAM = ∟C, ∟KAC = ∟B, то ∟AMB = ∟AKC.
∟AMK + ∟AMB = 180° (як суміжні).
∟AMK = 180° - ∟AMB. ∟AKM + ∟AKC = 180° (як суміжні).
∟AKM = 180° - ∟AKC. Так як ∟AMB = ∟AKC, то ∟AMК = ∟AКM.
Розглянемо ∆АМК: ∟AMK = ∟AKM, отже, ∆АМК - рівнобедрений.