Question

У трикутнику ABC відомо, що АВ = ВС, відрізки АЕ i CF - бісектриси цього трикутника. Доведіть, що EF ‖ АС

Answer 1

Нехай даний ∆АВС, АВ = ВС, АЕ i CF - бісектриси, доведемо, що EF ‖ АС.
∆АВС - рівнобедрений (АВ = ВС), тоді ∟A = ∟C.
∟BAE = ∟EAC = ∟BCF = ∟FCA (AE i CF - біceктриси piвних кутів).
Розглянемо ∆ABE i ∆CBF.
1) АВ = ВС (за умовою).
2) ∟B - спільний.
3) ∟BAE = ∟BCF.
Отже, ∆ABE = ∆СВF за II ознакою piвностi трикутників.
3 цього випливає: BE = BF. ∆FBE - рівнобедрений.
∟BFE = ∟BEF = (180° - ∟B) : 2;
∟BAC = ∟BCA = (180° - ∟B) : 2 (з ∆АВС).
∟BEF = ∟BAC при прямих FЕ i AC i січній АВ, ці кути відповідні, тоді EF ‖ АС.