Question

Через точку С проведено дотичні AC i ВС до кола, A i В - точки дотику (рис. 298). На колі взято довільну точку М, що лежить в одній півплощині з точкою С відносно прямої АВ, i через неї проведено дотичну до кола, яка перетинає прямі AC i ВС у точках D i Е відповідно. Доведіть, що периметр трикутника DEC не залежить від вибору точки М

Answer 1

Відповідь:

Нехай дано коло (О; R), CA, CB, DE - дотичні, точки А, В, М відповідно є точками дотику.
За властивістю відрізків дотичних, проведених з однієї точки до кола:
АС = ВС = х; AD = DM = у; BE = ЕМ = z;
Р∆EDС = ED + DC + СЕ; ED = ЕМ + MD = z + у; DC = АС - AD = х - у;
ЕС = ВС - BE = х - z;
P∆EDС = z + y + x - y + x + z = 2x = 2AC = 2ВС.
Тобто периметр ∆EDC не залежить від вибору т. М.