Question

Доведіть, що коли хорди кола рівновіддалені від його центра, то вони piвнi

Answer 1

Нехай дано коло (О; R), AB i CD - хорди, OK ┴ AB,
ОМ ┴ CD, OK ┴ ОМ. Доведемо, що AB = CD.
Розглянемо ∆АКО i ∆DMO.
1) АО = DO (як радіуси).
2) ОК = ОМ (за умовою).
3) ∟AКO = ∟DMO = 90° (ОК ┴ АВ, ОМ ┴ CD).
Отже, ∆АКО = ∆DMO за катетом i гіпотенузою.
3 цього випливає, що АК = DM.
Розглянемо ∆АОВ i ∆DOC - рівнобедрені (т.я. АО = OB = OD = ОС = R).
В рівнобедреному трикутнику висота, яка проведена до основи, є медіаною.
Тоді ОК - медіана ААОВ, ОМ - медіана ∆DOC.
АК = KB (OK - медіана ∆АОВ).
DM = МС (ОМ - медіана ∆DOC).
AB = 2AK, CD = 2DM. Оскільки АК = DM, то АВ = CD.