Question

У трикутнику ABC відомо, що ∟C = 90°. Доведіть, що:
1) пряма ВС є дотичною до кола iз центром А, яке проходить через точку С;
2) пряма АВ не є дотичною до кола iз центром С, яке проходить через точку А

Answer 1

1) Нехай ∆АВС - даний, ∟C = 90°, коло з центром в т. А проходить через т. С.
Доведемо що ВС є дотичною до кола.
Пряма ВС проходить через т. С кола, відрізок АС - радіус кола.
За умовою АС ┴ ВС (∟C = 90°), тоді за ознакою дотичної до кола ВС є дотичною до кола.
2) Нехай ∆АВС - даний, ∟C = 90°, коло з центром в т. С проходить через точку А.
Доведемо, що пряма АВ не є дотичною до кола.
Пряма АВ проходить через т. А кола, відрізок АС - радіус кола.
Якщо б АВ була дотичною до кола в т. А, то ВА ┴ СА i ∟CAB = 90°.
Але в ∆АВС є ∟С = 90°, оскільки в трикутнику не може бути два прямих кута,
то ∟CAB ≠ 90°, отже, АВ не є дотичною до кола.