Question

Висоти AM i CK трикутника ABC перетинаються в точці Н, НК = НМ. Доведіть, що трикутник ABC piвнобедрений

Answer 1

Дано:
∆АВС. СК - висота (СК ┴ АВ). AM - висота (AM ┴ ВС).
AM ∩ СК = Н. КН = НМ.
Довести: ∆АВС - рівнобедрений.
Доведения:
За умовою AM - висота (AM ┴ ВС); ∟АМС = 90°.
Аналогічно СК - висота, ∟AKC = 90°.
Розглянемо ∆АНК i ∆CHM:
1) ∟AKH = ∟СМИ = 90°;
2) ∟АНК = ∟СНМ (вертикальні);
3) КН = НМ.
За ознакою piвності прямокутних трикутників маємо: ∆АНК = ∆СНМ.
Звідси ∟КАН = ∟МСН. АН = НС.
Розглянемо ∆АНС - рівнобедрений.
За властивістю кутів при основі рівнобедреного трикутника маємо: ∟HAC = ∟НСА.
За аксіомою вимірювання кутів маемо:
∟ВАС = ∟ВАМ + ∟MAC; ∟ВСА = ∟ВСК + ∟КСА.
Звідси ∟ВАС = ∟ВСА. Отже ∆АВС - рівнобедрений.
Доведено.