Question

Бісектриси AM i BK рівностороннього трикутника ABC пepeтинаються в точці О. Доведіть, що АО : ОМ = 2 : 1

Answer 1

Доведения:
Нехай ∆АВС - рівносторонній, AM i ВК - бісектриси, перетинаються в т. О.
Доведемо, що АО : ОМ = 2 : 1.
В ∆АВС ∟А = ∟B = ∟С = 60°.
∟ABK = ∟KBC = 1/2∟B = 60°: 2 = 30° (ВК - бісектриса ∟B).
∟BAM = ∟MAC = 1/2∟A = 60°: 2 = 30° (АМ - бісектриса ∟A).
В ∆ABC рівносторонньому бісектриса є висотою. AM ┴ ВС, ВК ┴ АС.
Розглянемо ∆ВОМ (∟M = 90°, AM ┴ ВС).
Нехай ОМ = х, тоді ОВ = 2 • ОМ = 2х (оскільки ∟OBM = 30°).
Розглянемо ∆АОВ:
∟BAO = ∟ABO = 30°, тоді ∆АОВ - рівнобедрений з основою АВ.
Отже, АО = ВО = 2х.
АО : ОМ = 2х : х = 2 : 1.