Question

Доведіть, що сума довжин двох сторін трикутника більша за подвоєну довжину медіани, проведеної до третьої сторони

Answer 1

Нехай даний ∆АВС, СО - медіана, доведемо, що АС + ВС > 2СО.
На продовженні медіани СО відкладемо OD = ОС.
Розглянемо ∆ВОС i ∆AOD:
1) АО = ОВ (ОС - медіана);
2) СО = OD (за побудовою);
3) ∟BOC = ∟AOD (як вертикальні).
Отже, ∆ВОС = ∆АОD за I ознакою рівності трикутників,
тоді ВС = AD Розглянемо ∆АОС, з невірності трикутника випливає, що
AD + АС > DC (AD = ВС, DC = 2СО), тоді АС + ВС > 2СО.