Question

На медіані ВМ трикутника ABC позначили точку О так, що ∟OAC = ∟OCA. Доведіть, що трикутник ABC - рівнобедрений

Answer 1

Нехай ∆АВС - даний за умовою.
ВМ - медіана, т. О лежить на ВМ, ∟OAM = ∟OCM,
доведемо, що ∆ABC - рівнобедрений.
Розглянемо ∆АОС - рівнобедрений, так як ∟OAM = ∟OCM.
Оскільки ОМ - медіана, проведена до основи АС, то ОМ - висота i бiсектриса.
∟AOM = ∟COM (ОМ - бісектриса).
Розглянемо ∆АВО i ∆СВО:
1) АО = СО (∆АОС - рівнобедрений);
2) ВО - спільна;
3) ∟BOA = ∟BOC (як суміжні з рівними).
Отже, ∆АВО = ∆СВО за I ознакою piвностi трикутників,
з цього випливає, що АВ = ВС, тоді ∆АВС - рівнобедрений.