Question

Пряма перетинає бісектрису ВМ трикутника ABC у точці О, яка є серединою відрізка ВМ, а сторону ВС - у точці К. Доведіть, що коли ОК ┴ ВМ, то МК ‖ АВ

Answer 1

Доведения:
Нехай дано ∆АВС, ВМ - бісектриса ∟ABC,
т. О - середина ВM, РК ┴ ВМ, доведемо, що МК ‖ АВ.
Розглянемо ∆ВРМ.
РО - медіана (так як ВО = ОМ), РО - висота (РК ┴ ВМ).
Так як медіана трикутника є висотою,
то ∆ВРМ - рівнобедрений (ВР = РМ).
Розглянемо ∆ВРК - рівнобедрений, так як бісектриса ВО є висотою,
тоді ВР = ВК. Розглянемо ∆ВРМ i ∆ВКМ.
1) ВР = ВК (∆ВРК - рівнобедрений);
2) ∟PBM = ∟KBM (ВМ - бісектриса ∟B);
3) ВМ - спільна.
Отже, ∆ВРМ = ∆ВКМ за I ознакою piвностi трикутників, з цього випливає,
що ∟BMP = ∟BMK, ВР = РМ - МК = КВ.
Розглянемо ∟ВРО i ∟MKO.
1) ВО = ОМ (т. О - середина ВМ);
2) ∟POB = ∟KOM = 90° (РК ┴ ВМ);
3) ∟PBO = ∟KMO.
Отже, ∆ВРО = ∆МКО за II ознакою piвностi трикутників, тоді ∟BPO = ∟MKO.
Ці кути є piзносторонніми при прямих ВР i МК та січній РК, так як ∟BPO = ∟MKO,
то за ознакою паралельності прямих ВР МК, або АВ ‖ МК.