Якщо медіана i два кута, на які вона розбиває кут одного
трикутника дорівнює відповідно медіані i двом кутам, на якi
вона розбиває кут iншого трикутника, то ціi трикутники piвнi.
Доведения:
В ∆АВС на промені ВМ відкладемо MD = ВМ.
Розглянемо ∆АВМ i CDM.
1) ВМ = MD (за побудовою);
2) ∟AMB = ∟CMD (як вертикальні);
3) AM = МС (ВМ - медіана).
Отже, ∆АВМ = ∆CDM за I ознакою piвностi трикутників.
3 цього випливає, що ∆ABM = ∆CDM.
Аналогічно, у ∆B1C1D1: ∟A1B1M1 = ∟C1D1M1.
Розглянемо ∆BCD i ∆B1C1D1.
1) BD - B1D1 (за побудовою);
2) ∟MBC = ∟М1В1С1 (за умовою);
3) ∟MDC = ∟M1D1С1.
Отже, ∆BCD = ∆B1C1D1 за II ознакою piвностi трикутників.
3 цього випливає, що ВС = В1С1.
Розглянемо ∆ВМС i ∆B1M1C1.
1) ВМ = В1М1 (за умовою);
2) ВС = В1С1 (т. я. ∆BCD = ∆B1C1D1);
3) ∟MBC = ∟M1B1С1 (за умовою).
Отже, ∟ВМС = ∟B1М1C1 за I ознакою piвності трикутників.
Тоді ∟BCM = ∟B1C1M1.
Розглянемо ∆АВС i ∆A1B1C1.
1) ВС = В1С1 (т. я. ∆BCD = ∆B1C1D1);
2) ∟ВСА = ∟В1С1А1 (т. я. ∆ВМС = ∆В1М1С1),
1) ∟B = ∟B1 (як кут, що складається з piвних кутів).
Тоді ∆АВС = ∆A1B1C1 за II ознакою piвностi трикутників.