Question

Відрізки АВ i CD перетинаються в точці О та дітяться цією точкою навпіл. На відрізку АС позначено точку М, а на відрізку BD - точку К так, що AM = ВК. Доведіть, що: 1) ОМ = ОК; 2) точки М, О і К лежать на одній прямій

Answer 1

Доведення:
Нехай АВ i CD перетинаються в т. О, причому АО = ОВ, СО = ОD,
т. М лежить на відрізку АС, т. К лежить на відрізку BD, AM = ВК.
Доведемо, що 1) ОМ = ОК.
Розглянемо ∆АСО i ∆BDO.
1) АО = OB (за умовою);
2) СО = OD (за умовою);
3) ∟AOC = ∟BOD (як вертикальні).
Отже, ∆АСО = ∆BDO за I ознакою.
Розглянемо ∆АМО i ∆BKO.
1) АО = ОВ (за умовою);
2) AM = ВК (за умовою);
3) ∟MAO = ∟KBO (т. я. ∆АСО = ∆BDO).
Отже, ∆АМО = ∆ВКО за I ознакою, з цього випливає, що МО = ОК.
2) Доведемо, що точки М, О і К лежать на одній прямій.
∟AOM = ∟BOK (т. я. ∆АМО = ∆ВКО), точки А, О, В лежать на одній прямій за
умовою, оскільки ∆АОМ = ∆BOK, то ці кути вертикальні, отже, точки М, О i К
лежать на одній прямій.