Question

Высоты AM i CK треугольника ABC пересекаются в точке О, ОК = ОМ, ∟BAM = ∟ACK. Докажите, что треугольник ABC равносторонний

Answer 1

Пусть дано ΔАВС, AM i CK - высоты, т. О - точка пересечения высот. ОК = ОМ, ∟ВАМ = ∟ACK.
Докажем, что ΔАВС - равносторонний.
Пусть ∟ВАМ = ∟АСК = х.
Рассмотрим ΔАВМ (∟М = 90 °). ∟В = 90 ° - х.
Рассмотрим ΔКВС (∟К = 90 °). ∟В = 90 ° - х, ∟ВСК = х.
Рассмотрим ΔКОА i ΔМОС.
1) ∟OКА = ∟ОМС = 90 ° (АМ i CK - высоты).
2) КО = ОМ (по условию).
3) ∟КAO = ∟MCO = х.
Итак, ΔКОА = ΔМОС за катетом i острым углом, из этого следует,
что АО = ОС. Тогда ΔАОС - равнобедренный i ∟ОАС = ∟ОСА = х.
Рассмотрим ΔАВС.
∟В = 90 ° - х, ∟А = х + х = 2х, ∟С = х + х = 2х.
Поскольку ∟А + ∟В + ∟С = 180 °, то 90 - х + 2х + 2х = 180;
90 + 3х = 180; 3х = 90; х = 30
∟В = 90 ° - 30 ° = 60 °, ∟А = 30 ° + 30 ° = 60 °,
∟С = 30 ° + 30 ° = 60 °.
Если в ΔАВС ∟А = ∟В = ∟С = 60 °, то этот треугольник - равносторонний.