Question

В треугольнике ABC угол АСВ прямой, СН - высота данного треугольника, CD -бисектриса треугольника ВСН. Докажите, что АС = AD

Answer 1

Пусть данный ΔАВС, ∟ACB = 90 °, СН - высота, CD - биссектриса ∟НСВ.
Докажем, что АС = AD.
∟HCD = ∟DCB = х (CD - биссектриса). ∟HCB = 2х.
3 ΔНСВ: ∟H = 90 °, ∟B = 90 ° - 2х.
3 ΔHCD: ∟Н = 90 °, ∟HDC = 90 ° - x.
∟ACB = ∟ACD + ∟DCB, 90 ° = ∟ACD + x, ∟ ACD = 90 ° - x.
Рассмотрим ΔACD.
∟ACD = ∟ADC = 90 ° - x, следовательно, ΔACD - равнобедренный, тогда AC = AD.