Question

Биссектрисы AD i СЕ треугольника ABC пересекаются в точке О 1 , биссектрисы EF i DK треугольника DEB пересекаются в точке О 2 . Докажите, что точки В, В 1 i В 2 лежат на одной прямой

Answer 1

Дано: ∆АВС. AD i СЕ - бісектриси ∆АВС.
AD ∩ CE = О1, EF i DK - бісектриси ∆KBF.
EF ∩ DK = О2.
Довести: В, О1, О2 належать одній прямій.
Доведення:
За умовою AD i СЕ - бісектриси кутів ∆АВС.
AD ∩ CE = О1, тобто О1 - є центром кола вписаного у ∆АВС;
ВМ - проходить через т. О1, ВМ є бісектрисою ∆АВС.
За умовою DK i EF - бісектриси кутів ∆DBE.
EF ∩ DK = О2, тобто О2 - є центром кола, вписаного у ∆EBD;
ВМ - бісектриса ∟ABC (∟ABC = ∟EBD).
Отже, ВМ проходить через т. О2.
Звідси маемо: В є ВМ, О1 є ВМ, О2 є ВМ.
Точки В, О1, О2 належать одній прямій.