Question

Круг, центр которого принадлежит биссектрисе угла, пересекает каждую из его сторон в двух точках. Докажите, что отрезки, которые отсекает круг на сторонах угла, ровны

Answer 1

Дано: ∟AKE. В является КС; КС - биссектриса ∟AKE. АК пересекает окружность в точках А, В
АЕ пересекает окружность в точках Е, F. Доказать: АВ = EF.
Доказательство:
Выполним дополнительную построение: радиусы ОА, OB, ОЕ, OF.
Рассмотрим ΔВОА - равнобедренный (ВО = АО).
Построим высоту ОР.
По свойству равнобедренного треугольника имеем: ОР - медиана.
По определению медианы треугольника имеем: ВР = РА = 1 / 2ВА, следовательно, ВА = 2ВР.
Аналогично ΔFOE - равнобедренный (OF = ОЕ - радиусы).
Строим высоту ОН, ОН - медиана. FH = HE = 1 / 2FE; FE = 2FH.
Рассмотрим ΔКРО i ΔКНО - прямоугольный. КО - общая сторона;
∟PKO = ∟HKO. (По условию КО - биссектриса ∟PKH).
По признаку piвностi прямоугольных треугольников имеем: ΔКРО = ΔКНО.
Отсюда имеем: ОР = ОН.
Рассмотрим ΔВОР i ΔFOH - прямоугольный. ВО = OF (радиусы) ОН = ОВ.
По признаку piвностi прямоугольных треугольников имеем: ΔВОР = ΔFOH.
Отсюда имеем: ВР = FH. Итак, если ВР = FH, тогда ВА = FE.
Доказано.