Дано: ΔАВС - равнобедренный. АВ = ВС. О - центр вписанной окружности.
D является АС, Е является АВ. D i E - точки соприкосновения. ∟ABC = 48 °.
Найти: ∟DOE.
Решение:
Рассмотрим ΔАВС - равнобедренный.
По свойству углов равнобедренного треугольника имеем: ∟ВАС = ∟BCA.
По теореме о сумме углов треугольника имеем:
∟ABC + ∟ACB + ∟BCA = 180 °.
∟BAC = ∟BCA = (180 ° - 48 °): 2 = 132 °: 2 = 66 °.
Если О - центр вписанной окружности, тодф АО - биссектриса ∟BAC, то есть
∟EAO = ∟DAO = 1 / 2∟EAD = 66 °: 2 = 33 °.
Если D i E точки соприкосновения. По свойству касательных имеем: OD ┴ АС,
ОЭ ┴ АВ; ∟ADO = ∟AEO = 90 °.
Рассмотрим ΔАЕО i ΔADO - прямоугольные.
OD = ОЕ - радиусы вписанной окружности; АО - общая сторона, ∟EAO = ∟DAO.
По признаку piвностi прямоугольных треугольников имеем: ΔЕАО = ΔDAO.
Отсюда имеем: ∟EOA = ∟DOA.
По свойству острых углов прямоугольного треугольника имеем:
∟EOA = 90 ° - 33 ° = 57 °, ∟AOD = 57 °.
По аксиомой измерения углов имеем:
∟EOD = ∟EOA + ∟AOD; ∟EOD = 57 ° + 57 ° = 114 °.
Biдповидь: 114 °.