Question

На рисунке 335 BD = DC, DN ┴ ВС, ∟BDM = ∟MDA. Найдите сумму углов MBN и BMD

Answer 1

Дано: ΔАВС. BD = DC. DN ┴ ВС. ∟BDM = ∟MDA.
Найти: ∟MBN + ∟BMD.
Решение:
По условию ВС = DC, следовательно ΔBDC - piвнобедрений.
По свойству углов равнобедренного треугольника имеем: ∟DBN = ∟DCN. DN - высота (DN ┴ ВС).
По свойству высоты в равнобедренном треугольнике имеем: DN - медиана i биссектриса.
По определению биссектрисы угла имеем: ∟BDN = ∟NDC.
По аксиомой измерения углов имеем:
∟ADC = ∟ADM + ∟MDB + ∟BDN + ∟NDC.
2∟MDB + 2∟BDN = 180 °; 2 (∟MDB + ∟BDN) = 180 °.
∟MDB + ∟BDN = 90 °; ∟MDN = ∟MDB + ∟BDN; ∟MDN = 90 °.
Рассмотрим ΔBND.
По теореме о сумме углов треугольника имеем ∟BND + ∟NDB + ∟DBN = 180 °.
Рассмотрим ΔBMD.
Аналогично имеем: ∟BMD + ∟MDB + ∟DBM = 180 °.
Отсюда получается, что сумма углов четырехугольника BMDN равен 360 °.
Итак, ∟BMD + ∟MDN + ∟DNB + ∟NBM = 360 °.
Отсюда имеем: ∟MBN + ∟BMD = 360 ° - (90 ° 90 °) = 360 ° - 180 ° = 180 °.
Biдповидь 180 °.