Question

В треугольнике ABC известно, что АВ = ВС, отрезки АЕ i CF - биссектрисы этого треугольника. Докажите, что EF ‖ АС

Answer 1

Пусть данный ΔАВС, АВ = ВС, АЕ i CF - биссектрисы, докажем, что EF ‖ АС.
ΔАВС - равнобедренный (АВ = ВС), тогда ∟A = ∟C.
∟BAE = ∟EAC = ∟BCF = ∟FCA (AE i CF - биceктрисы piвних углов).
Рассмотрим ΔABE i ΔCBF.
1) АВ = ВС (по условию).
2) ∟B - общий.
3) ∟BAE = ∟BCF.
Итак, ΔABE = ΔСВF за II признаком piвностi треугольников.
3 этого следует: BE = BF. ΔFBE - равнобедренный.
∟BFE = ∟BEF = (180 ° - ∟B): 2;
∟BAC = ∟BCA = (180 ° - ∟B): 2 (ΔАВС).
∟BEF = ∟BAC при прямых Fе i AC i секущей АВ, эти углы соответствующие, тогда EF ‖ АС.