Question

Каждый из углов ВАС i АСВ треугольника ABC разделены на три pавные части (рис. 309). Докажите, что ∟AMN = ∟CMN

Answer 1

ΔАВС. ∟BAC разделены на три piвни углы, ∟BCA разделены на три piвнi углы.
Доказать: ∟AMN = ∟CMN.
Доведения:
Рассмотрим ΔАМС. AN - биссектриса ∟MAC, CN - биссектриса ∟MCA.
Итак, N - центр окружности, вписанной в ΔАМС.
Е, F - точки соприкосновения вписанной окружности со сторонами AM i МС.
По свойству касательных, проведенных к окружности, имеем: NE ┴ МС, NF ┴ AM.
Рассмотрим ΔMNE i ΔNFM - прямоугольные.
∟NFM = ∟NEM = 90 °, FN = EN - радиусы вписанной окружности, MN - общая сторона.
Итак, ΔNFM = ΔNEM (по признаку piвностi прямоугольных треугольников).
Отсюда имеем: ∟FMN = ∟EMN, то есть ∟AMN = ∟CMN.