Question

На стороне АВ треугольника ABC обозначили точку М так, что ВМ = СМ, луч МК - биссектриса угла АМС. Докажите, что МК ‖ ВС

Answer 1

ΔАВС, М является АВ, СМ = MB.
МК - луч, МК - биссектриса ∟AMC.
Довести МК ‖ СВ.
Доведения ".
По условию МК - биссектриса ∟AMC.
По определению биссектрисы треугольника имеем:
∟AMK = ∟KMC = 1 / 2∟AMC.
Пусть ∟AMK = ∟KMC = х, тогда ∟AMC = 2х. ∟AMC i ∟CMB - смежные.
По теореме о смежных углы имеем: ∟CMB = 180 ° - 2х.
По условию СМ = MB.
Итак, ΔСМВ - равнобедренный.
По свойству углов равнобедренного треугольника имеем:
∟MCB = ∟MBC = (180 ° - (180 ° - 2х)): 2 =
= (180 ° - 180 ° + 2х) 2  = (2х): 2 = х.
Итак, ∟AMK = ∟MBC - х.
∟AMK i ∟MBC - соответствующие.
Поэтому по признаку параллельности прямых имеем МК ‖ ВС, АВ - секущая.