Question

Прямая АС примыкает к кругу с центром О в точке А (рис. 297). Докажите, что угол ВАС в 2 раза меньше угла АОВ

Answer 1

Пусть дано круг (О, R), АС - касательные, С - точка соприкосновения.
Докажем, что ∟AOB = 2∟BAC.
ОА - радиус, проведенный в точку касания, тогда по свойству касательной ОА ┴ AC, ∟OAC = 90 °.
Рассмотрим ΔАОВ - равнобедренный (АО = ОВ = R), тогда ∟OAB = ∟OBA - х.
∟OAB + ∟OBA + ∟AOB = 180 °; ∟AOB = 180 ° - 2х;
∟OAC = 90 °. ∟OAC = ∟OAB + ∟BAC; 90 ° = х + ∟BAC; ∟BAC = 90 ° - х.
Итак, ∟AOB = 180 ° - 2х = 2 (90 ° - х). ∟BAC = 90 ° - х; ∟AOB = 2∟BAC.