Question

Через точку С проведен касающиеся AC i ВС в круг, A i В - точки соприкосновения (рис. 298). На круге взято произвольную точку М, лежащую в одной полуплоскости с точкой С относительно прямой АВ, i через нее проведено касательную к окружности, пересекающая прямые AC i ВС в точках D i Е соответственно. Докажите, что периметр треугольника DEC не зависит от выбора точки М

Answer 1

ответ:

Пусть дано круг (О, R), CA, CB, DE - касательные, точки А, В, М соответственно являются точками соприкосновения.
По свойству отрезков касательных, проведенных из одной точки в круг:
АС = ВС = х; AD = DM = у; BE = ЭМ = z;
Р ΔEDС = ED + DC + СЕ; ED = ЭМ + MD = z + у; DC = АС - AD = х -;
ЕС = ВС - BE = х - z;
P ΔEDС = z + y + x - y + x + z = 2x = 2AC = 2ВС.
То есть периметр ΔEDC не зависит от выбора т. М.