Question

Высоты ME i NF треугольника MKN пересекаются в точке О, ОМ = ON, MF = КЭ. Докажите, что треугольник MKN равносторонний

Answer 1

ΔMKN. ME - висота (ME ┴ KN). FN - висота (FN ┴ MK).
ME ∩ FN = 0. OM = ON; MF = KE.
Довести: ΔMNK - рівносторонній.
Доведения:
Розглянемо ΔMOF я ΔNOE.
За умовою NF - висота (NF ┴ МК); ∟NFM = 90 ° я MЕ - висота; ∟MEN = 90 °.
1) ∟MFO = ∟NEO = 90 °;
2) ∟MOF = ∟NOE (вертикальні);
3) = ON ОМ.
За ознакою piвностi прямокутних трикутників маємо: ΔMFO = ΔNEO.
Звідси MF = EN.
За умовою MF = KE я MF = EN, тобто KE = EN.
За умовою ME - висота. Тоді AMKN - рівнобедрений, MK = MN.
Розглянемо ΔMFN я ΔNEM:
1) ∟MFN = ∟MЕN = 90 °;
2) MF = EN;
3) MN - спільна сторона.
ΔMFN = Тому ΔNEM. Звідси ∟FMN = ∟MNE.
Отже, ΔMKN - рівнобедрений. MK = KN. Якщо MK = MN я MK = KN.
ΔABC Тому - рівносторонній.