Question

Угол при основании АС равнобедренного треугольника ABC в 2 раза больше угол при вершине, AM - биссектриса треугольника. Докажите, что ВМ = АС

Answer 1

Доведения:
Пусть данный ΔАВС - равнобедренный (АВ = ВС),
∟A в 2 раза больше, чем ∟B, AM - биссектриса.
Докажем, что ВМ = АС.
Пусть ∟B = х, тогда ∟A = 2х, поскольку ΔАВС - равнобедренный,
то ∟A = ∟C = 2х.
В ΔАВС: ∟A + ∟B + ∟C = 180 °.
2х + х + 2х = 180; 5х = 180; х = 36
∟B = 36 °. ∟A = 2 • 36 ° = 72 °. ∟C = 2 • 36 ° = 72 °.
∟ВАМ = ∟MAC = 1 / 2∟A = 72 °: 2 = 36 ° (AM - биссектриса).
Рассмотрим ΔАВМ:
∟В + ∟ВМА + ∟ВАМ = 180 °. 36 ° + ∟ВМА + 36 ° = 180 °.
∟ВМА = 180 ° - 72 ° = 108 °.
Итак, ∟В = ∟ВАМ = 36 °, тогда ΔАВМ - равнобедренный, ВМ = AM.
Рассмотрим ΔАМС:
∟MAC + ∟АМС + ∟С = 180 °.
36 ° + ∟АМС + 72 ° = 180 °.
∟АМС = 180 ° - (36 ° + 72 °) = 72 °.
Так как ∟АМС = ∟С = 72 °, то ΔАМС - равнобедренный, МА = АС.
Поскольку, ВМ = MA, MA = АС, то ВМ = АС.