Question

На сторонах угла с вершиной в точке В обозначили точки A i С так, что АВ = ВС. Через точки А и С провели прямые, перпендикулярнi к сторонам ВА i ВС соответственно и пересекаются в точке О. Докажите, что луч ВО - биссектриса угла ABC.

Answer 1

Дано:
∟B; AB = ВС; СК ┴ КБ; ┴ NB; ∩ CK = 0.
Довести: BO - бісектриса ∟ABC.
Доведения:
За умовою СК ┴ КБ, ∟CKB = 90 ° I А. ┴ NB, тоді ∟ANB = 90 °.
Розглянемо ΔANB я ΔCKB:
1) ∟ANB = ∟CKB = 90 °;
2) АВ = ВС (за умовою);
3) ∟В - спільний.
За ознакою piвностi прямокутних трикутників маємо ΔANB = ΔСКВ.
Звідси ∟BAN = ∟BCK (як piвнi елементи piвниx фігyp);
BN = ВК. Якщо АВ = ВС я BN = ВК, тоді АК = NC.
Розглянемо ΔАОК я ΔСОN:
1) ∟OКA = ∟ONC = 90 °;
2) АК = NC;
3) ∟АOК = ∟NOC (вертикальні).
За ознакою piвностi прямокутних трикутників маємо: ΔАОК = ΔCON.
Звідси OK = ВКЛ.
Розглянемо ΔONB я ΔOKB:
1) ∟OKB = ∟ONB = 90 °;
2) ОВ - спільна сторона;
3) OK = ВКЛ.
За ознакою piвностi прямокутних трикутників маємо: ΔONB = ΔОКВ.
Тоді ∟OBN = ∟OBK. Тоді ОВ - бісектриса ∟ABC.