Question

Отрезки AM i CK - медианы треугольника ABC. На продолжении отрезка AM точки М отложено отрезок MF, а на продолжении отрезка СК точки К - отрезок KD так, что MF = АМ, KD = СК. Докажите, что точки В, D i F лежат на одной прямой.

Answer 1

Доведения:
Пусть дано ΔАВС, AM - медиана, СК - медиана, AM = MF, СК = KD по построению.
Рассмотрим ΔАМС i ΔFMB.
1) AM = MF (по построению)
2) ВМ = МС (AM - медиана)
3) ∟AMC = ∟FMB (как вертикальные).
Итак, ΔАМС = ΔFMB за I признаком piвностi треугольников, с этого вы-
вытекает, что ΔMAC = ΔMFB.
ΔMAC i ΔMFB - разносторонние при прямых АС i BF и января AF.
Тогда по признаку параллельности прямых AC ‖ BF.
Рассмотрим ΔАКС i ΔBKD.
1) АК = ВК (СК - медиана)
2) СК = KD (по построению)
3) ∟AKC = ∟BKD (как вертикальные).
Итак, ΔАКС = ΔBKD за I признаком piвностi треугольников, с этого випли-
ет, что ∟BDA = ∟ACD.
∟BDK i ∟АСК - разносторонние при прямых AC i BD и секущей DC.
Тогда по признаку параллельности прямых AC ‖ BD.
Поскольку BF ‖ АС i BD ‖ АС, то точки В, F, D лежат на одной прямой.