Question

Биссектрисы углов ВАС i ВСА треугольника ABC пересекаются в точке О. Через эту точку проведены прямые, параллельные прямым АВ i ВС и пересекают сторону АС в точках М i К соответственно. Докажите, что периметр треугольника МОК равна длине стороны АС

Answer 1

Дано:
ΔАВС; AN, СР - биссектрисы ΔАВС.
AN ∩ СР = 0 В является FK; В является ЭМ; М является АС; К является AC.
ЭМ ‖ АВ; FK ‖ ВС.
Доказать: Р ΔМОК = АС.
Доведения:
По условию AN - биссектриса ΔАВС.
По определению биссектрисы угла треугольника имеем: ∟BAN = ∟NAM.
АВ ‖ ME; АО - секущая, тогда по признаку параллельности прямых имеем:
∟РАО = ∟АОМ (внутренние разносторонние).
Отсюда ∟OAM = ∟МОА, следовательно ΔАМО - равнобедренный AM = МО.
Аналогично СР - биссектриса, тогда ∟АСР = ∟РСВ.
FK ‖ ВС; ОС - секущая, тогда ∟КОС = ∟OCN.
Отсюда ∟КОС = ∟КСО, тогда ΔКОС - равнобедренный ОК = КС.
Р ΔМОК = МО + ОК + МК. Р ΔМОК = АМ + МК + КС = АС.
Доказано.