Дано: ΔАВС я Д A 1 B 1 C 1 . BD - бісектриса ΔАВС, В 1 D 1 - бісектриса Δ 1 B 1 C 1 .
BD = B 1 B 1 , AD = A 1 D 1 Довести: ΔАВС = Δ 1 B 1 C 1 .
Доведення: Розглянемо ΔАВС я Д A 1 B 1 C 1 .
За умовою = А АВ 1 В 1 , BD = В 1 D 1 , AD = A 1 D 1 .
За III ознакою piвностi трикутників маємо
ΔABD = ΔА 1 B 1 D 1 . Звідси ∟ABD = ∟ А 1 B 1 D 1 , ∟ADB = ∟A 1 D 1 B 1 , ∟BAD = ∟B 1 1 D 1 (як piвнi елементи рівних фігyp).
За умовою BD - бісектриса ∟АВС. ∟ABD = ∟DBC, B 1 D 1 - бісектриса ∟А1В1С1,
∟ А 1 B 1 D 1 = ∟D 1 B 1 C 1 . Тому, якщо ∟ABD = ∟ А 1 B 1 D 1 , тоді
∟ABC = ∟ 1 B 1 C 1 .
Розглянемо ΔBDC я ΔB 1 D 1 C 1 .
За умовою BD = B 1 D 1 , ∟DBC = ∟D 1 B 1 C 1 .
Якщо ∟ADB = ∟A 1 D 1 B 1 , тоді ∟BDC = ∟ D 1 B 1 C 1 (суміжні кути piвним кутам).
За II ознакою pівності трикутників маємо
ΔBDC = Δ B 1 D 1 C 1 . Звідси маємо DC = D 1 C 1 , AD = A 1 D 1 .
За аксіомою вимірювання відрізків маємо
AC = AD + DC I A 1 C 1 = A 1 D 1 + D 1 C 1 .
Розглянемо ΔАВС я Д A 1 B 1 C 1 .
AB = 1 B 1 , AC = A 1 C 1 , ∟ВAD = ∟B 1 1 D 1 .
3a I ознакою piвностi трикутників маємо ΔАВС = Δ 1 B 1 C 1 . Доведено.