Question

Каждая из точек М i N равноудалена от концов отрезка АВ. Докажите, что прямая MN - серединный перпендикуляр отрезка АВ.

Answer 1

Дано: отрезок AB, AM = MB, AN = NB.
Доказать: MN - серединный перпендикуляр.
Доведения: Рассмотрим ΔNAM i ΔNBM.
1) AN = NB (по условию); 2) AM = MB (по условию) 3) NM - общая сторона.
За III признаком piвности треугольников имеем ΔNАМ = ΔNBM.
Итак, ∟AME = ∟BME, ∟ANE = ∟BNE (как piвнисть соответствующих элементов равных фигур).
Рассмотрим ΔAMB - равнобедренный (AM = MB).
Если ∟AME = ∟BME, тогда ME - биссектриса.
По свойству равнобедренного треугольника имеем ME - высота, медиана, ME ┴ АБ, АЕ = ЕВ.
Аналогично ΔANB - равнобедренный. ∟ANE = ∟BNE,
тогда NE - биссектриса, медиана, высота, NE ┴ АВ, АЕ = ЕВ.
Тогда имеем MN ┴ AB i MN делит АВ пополам.
Итак, MN - серединный перпендикуляр. Доказано.