Question

Отрезки АВ i CD пересекаются в точке О и дитяться этой точкой пополам. На отрезке АС обозначено точку М, а на отрезке BD - точку К так, что AM = ВК. Докажите, что: 1) ОМ = ОК; 2) точки М, О и К лежат на одной прямой

Answer 1

Доказательство:
Пусть АВ i CD пересекаются в т. О, причем АО = ОВ, СО = ОD,
т. М лежит на отрезке АС, т. К лежит на отрезке BD, AM = ВК.
Докажем, что 1) ОМ = ОК.
Рассмотрим ΔАСО i ΔBDO.
1) АО = OB (по условию)
2) СО = OD (по условию)
3) ∟AOC = ∟BOD (как вертикальные).
Итак, ΔАСО = ΔBDO за I признаку.
Рассмотрим ΔАМО i ΔBKO.
1) АО = ОВ (по условию);
2) AM = ВК (по условию)
3) ∟MAO = ∟KBO (т. К. ΔАСО = ΔBDO).
Итак, ΔАМО = ΔВКО за I признаку, из этого следует, что МО = ОК.
2) Докажем, что точки М, О и К лежат на одной прямой.
∟AOM = ∟BOK (т. К. ΔАМО = ΔВКО), точки А, В, В лежат на одной прямой с
условием, поскольку ΔАОМ = ΔBOK, то эти углы вертикальные, следовательно, точки М, О i К
лежат на одной прямой.